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圖2-1 質(zhì)量守恒的微元體
將質(zhì)量守恒定律應(yīng)用到高溫流體流動(dòng)中(如圖2-1)所示,即得連續(xù)性方程:
在不穩(wěn)定流動(dòng)時(shí),流入的流體質(zhì)量與流出的流體質(zhì)量之差應(yīng)等于封閉空間中流體質(zhì)量的變化;而在穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)則流入流體質(zhì)量必然等于流出的流體質(zhì)量,其數(shù)學(xué)表達(dá)式即為連續(xù)性方程。在直角坐標(biāo)系中
不穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)
(2-1)
穩(wěn)定流動(dòng)時(shí),則
對(duì)于不可壓縮流體,ρ=const,則連續(xù)性方程為
用ρu的散度divpu或 pu表示上式左邊的三項(xiàng)之和則,
div u=▽·u=0
在柱坐標(biāo)系中
不穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)
(2-2)
穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)
(2-2a)
對(duì)于不可壓縮流體,ρ=const,則連續(xù)性方程為
(2-2b)
直角坐標(biāo)和柱坐標(biāo)之間的換算公式如下:
(2-3)
連續(xù)性方程表示了流體運(yùn)動(dòng)時(shí),其速度與密度之間的關(guān)系。
二、能量方程
根據(jù)能量守恒定律、加到流體中的熱能q和壓力所作的功之和,等于流體對(duì)外所作的機(jī)械功W、克服摩擦所消耗的功Wf以及動(dòng)能,位能(gZ2-gZ1)和內(nèi)能增量cu(T2-T1)之和。能量方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式則為
(2-4)
其微分形式為
(2-4a)
式中,而
兩者之和為(i2-i1)
三、粘性流體運(yùn)動(dòng)方程
根據(jù)牛頓第二定律,考慮到流體的粘性剪切力即可得不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程式,該式又稱為納維—斯托克斯方程,簡(jiǎn)稱N-S方程,這是流體動(dòng)力學(xué)基本方程之一,在直角坐標(biāo)系中表示為(見(jiàn)圖2-2)。
(2-5)
方程組中左邊*項(xiàng)為單位質(zhì)量力;左邊第二項(xiàng)為壓力,第三項(xiàng)為摩擦力,合稱為表面力;右邊為慣性力。
在柱坐標(biāo)系中則表示為
(2-)
圖2-2 粘性流體運(yùn)動(dòng)分析
式中一直角坐標(biāo)拉普拉斯算子
一柱坐標(biāo)用拉普拉斯算子;
一歐拉系數(shù)。
對(duì)于可壓縮流體,考慮氣體的可壓縮性、N-S方程具有下列形式:對(duì)于直角坐標(biāo)為
(2-6)
對(duì)于柱坐標(biāo)系則表示為:
(2-6a)
N-S方程是粘性流體zui一般性的方程。加上連續(xù)性方程共有四個(gè)方程式,當(dāng)邊界條件和初始條件確定后,原則上可求解不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中的四個(gè)未知數(shù)ux、uy、uz和p。許多層流問(wèn)題,如園管層流、平行平面間層流、同心園環(huán)間層流都可以用N-S方程求出解,而且流體潤(rùn)滑問(wèn)題也可用N-S方程求近似解。
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